Kas yra fraktalai: matematikos grožis ir begalybė

2024 Autorius: Seth Attwood | [email protected]. Paskutinį kartą keistas: 2023-12-16 16:11

Fraktalai buvo žinomi šimtmetį, buvo gerai ištirti ir turi daugybę pritaikymų gyvenime. Tačiau šis reiškinys pagrįstas labai paprasta idėja: iš gana paprastų struktūrų galima gauti daugybę formų, kurių grožis ir įvairovė yra begaliniai, naudojant tik dvi operacijas – kopijavimą ir mastelio keitimą.

Ką bendro turi medis, pajūris, debesis ar kraujagyslės mūsų rankoje? Iš pirmo žvilgsnio gali atrodyti, kad visi šie objektai neturi nieko bendro. Tačiau iš tikrųjų yra viena struktūros savybė, būdinga visiems išvardytiems objektams: jie yra panašūs. Iš šakos, kaip ir iš medžio kamieno, yra mažesnės šakos, nuo jų - dar mažesnės ir pan., tai yra, šaka yra kaip visas medis.

Panašiai išsidėsčiusi ir kraujotakos sistema: iš arterijų pasišalina arteriolės, o iš jų – patys mažiausi kapiliarai, kuriais deguonis patenka į organus ir audinius. Pažiūrėkime į palydovines jūros pakrantės nuotraukas: pamatysime įlankas ir pusiasalius; pažiūrėkime, bet iš paukščio skrydžio: pamatysime įlankas ir kyšulius; Dabar įsivaizduokime, kad stovime paplūdimyje ir žiūrime į savo kojas: visada yra akmenukų, kurie kyšo į vandenį toliau nei kiti.

Tai reiškia, kad priartinus pakrantės linija išlieka panaši į save. Amerikietis (nors ir užaugęs Prancūzijoje) matematikas Benoit Mandelbrot šią objektų savybę pavadino fraktalumu, o pačius tokius objektus – fraktalais (iš lot. fractus – sulaužyti).

Kas yra fraktalas?

Ši sąvoka neturi griežto apibrėžimo. Todėl žodis „fraktalas“nėra matematinis terminas. Paprastai fraktalas yra geometrinė figūra, kuri atitinka vieną ar daugiau iš šių savybių: • Ji turi sudėtingą struktūrą esant bet kokiam padidinimui (priešingai, pavyzdžiui, tiesei linijai, kurios bet kuri dalis yra paprasčiausia geometrinė figūra – linijos atkarpa). • Yra (apytiksliai) panašus į save. • Turi trupmeninį Hausdorff (fraktalinį) matmenį, kuris yra didesnis nei topologinis. • Galima sukurti rekursinėmis procedūromis.

Geometrija ir algebra

Fraktalų tyrimas XIX–XX amžių sandūroje buvo veikiau epizodinis nei sistemingas, nes ankstesni matematikai daugiausia tyrinėjo „gerus“objektus, kuriuos buvo galima tirti naudojant bendruosius metodus ir teorijas. 1872 m. vokiečių matematikas Karlas Weierstrassas sukūrė niekur nesiskiriančios tęstinės funkcijos pavyzdį. Tačiau jo konstrukcija buvo visiškai abstrakti ir sunkiai suvokiama.

Todėl 1904 m. švedas Helge von Koch išrado ištisinę kreivę, kuri niekur neturi liestinės ir yra gana paprasta nubrėžti. Paaiškėjo, kad jis turi fraktalo savybių. Vienas iš šios kreivės variantų vadinamas „Kocho snaigė“.

Figūrų panašumo idėjas perėmė prancūzas Paulas Pierre'as Levy, būsimasis Benoit Mandelbrot mentorius. 1938 m. jis paskelbė savo straipsnį „Plokštumos ir erdvinės kreivės ir paviršiai, susidedantys iš dalių, panašių į visumą“, kuriame aprašomas kitas fraktalas – Lévy C kreivė. Visi šie aukščiau esantys fraktalai sąlyginai gali būti priskirti vienai konstruktyviųjų (geometrinių) fraktalų klasei.

Kita klasė yra dinaminiai (algebriniai) fraktalai, kurie apima Mandelbroto rinkinį. Pirmieji tyrimai šia kryptimi prasidėjo XX amžiaus pradžioje ir siejami su prancūzų matematikų Gastono Julia ir Pierre'o Fatou vardais.1918 m. buvo išleisti beveik dviejų šimtų puslapių Julijos memuarai, skirti sudėtingų racionalių funkcijų kartojimams, kuriuose aprašyti Julijos rinkiniai – visa šeima fraktalų, glaudžiai susijusių su Mandelbroto rinkiniu. Šis kūrinys buvo apdovanotas Prancūzų akademijos premija, tačiau jame nebuvo nei vienos iliustracijos, todėl buvo neįmanoma įvertinti atrastų objektų grožio.

Nepaisant to, kad šis darbas šlovino Juliją tarp to meto matematikų, jis greitai buvo pamirštas. Tik po pusės amžiaus kompiuteriai vėl sulaukė dėmesio: būtent jie padarė matomą fraktalų pasaulio turtą ir grožį.

Fraktalų matmenys

Kaip žinote, geometrinės figūros matmuo (matavimų skaičius) yra koordinačių skaičius, reikalingas taško, esančio ant šios figūros, padėčiai nustatyti.

Pavyzdžiui, taško padėtis kreivėje nustatoma pagal vieną koordinatę, paviršiuje (nebūtinai plokštumoje) – dvi koordinatės, trimatėje erdvėje – trys koordinatės.

Žvelgiant iš bendresnio matematinio požiūrio, matmenis galite apibrėžti taip: vienmačių (topologiniu požiūriu) objektų (segmento) linijinių matmenų padidėjimas, tarkime, du kartus, padidina jų dydį. (ilgis) du kartus, dvimačio (kvadrato) atveju dėl to paties linijinių matmenų padidėjimo dydis (plotas) padidėja 4 kartus, trimatės (kubo) - 8 kartus. Tai reiškia, kad „tikroji“(vadinamoji Hausdorff) dimensija gali būti apskaičiuojama kaip objekto „dydžio“padidėjimo logaritmo ir jo tiesinio dydžio padidėjimo logaritmo santykis. Tai yra, atkarpai D = log (2) / log (2) = 1, plokštumai D = log (4) / log (2) = 2, tūriui D = log (8) / log (2)) = 3.

Dabar apskaičiuokime Kocho kreivės matmenį, kurios konstravimui vienetinis segmentas padalintas į tris lygias dalis, o vidurinis intervalas pakeičiamas lygiakraštiu trikampiu be šios atkarpos. Tris kartus padidėjus minimalaus segmento tiesiniams matmenims, Kocho kreivės ilgis padidėja log (4) / log (3) ~ 1, 26. Tai yra, Kocho kreivės matmenys yra trupmeniniai!

Mokslas ir menas

1982 metais buvo išleista Mandelbroto knyga „Gamtos fraktalų geometrija“, kurioje autorius surinko ir susistemino beveik visą tuo metu turimą informaciją apie fraktalus ir ją lengvai bei prieinamai pateikė. Savo pristatyme Mandelbrotas daugiausia dėmesio skyrė ne gremėzdiškoms formulėms ir matematinėms konstrukcijoms, o geometrinei skaitytojų intuicijai. Kompiuteriu sukurtų iliustracijų ir istorinių pasakojimų dėka, kuriais autorius meistriškai praskiedė mokslinį monografijos komponentą, knyga tapo bestseleriu, o fraktalai tapo žinomi plačiajai visuomenei.

Jų sėkmę tarp ne matematikų daugiausia lemia tai, kad pasitelkus labai paprastas vidurinės mokyklos mokiniui suprantamas konstrukcijas ir formules, gaunami nuostabaus sudėtingumo ir grožio vaizdai. Kai asmeniniai kompiuteriai tapo pakankamai galingi, atsirado net ištisa meno kryptis – fraktalų tapyba, ir tuo galėjo užsiimti kone bet kuris kompiuterio savininkas. Dabar internete galite lengvai rasti daugybę šiai temai skirtų svetainių.

Karas ir taika

Kaip minėta aukščiau, vienas iš gamtos objektų, turinčių fraktalinių savybių, yra pakrantė. Su juo, tiksliau, su bandymu išmatuoti jo ilgį, susijusi viena įdomi istorija, kuri sudarė Mandelbroto mokslinio straipsnio pagrindą, taip pat aprašyta jo knygoje „Gamtos fraktalinė geometrija“.

Tai eksperimentas, kurį surengė Lewisas Richardsonas, labai talentingas ir ekscentriškas matematikas, fizikas ir meteorologas. Viena iš jo tyrimo krypčių buvo bandymas rasti matematinį abiejų šalių ginkluoto konflikto priežasčių ir tikimybės aprašymą. Tarp parametrų, į kuriuos jis atsižvelgė, buvo abiejų kariaujančių šalių bendros sienos ilgis. Rinkdamas duomenis skaitiniams eksperimentams, jis išsiaiškino, kad skirtinguose šaltiniuose duomenys apie bendrą Ispanijos ir Portugalijos sieną labai skiriasi.

Tai paskatino jį atrasti štai ką: šalies sienų ilgis priklauso nuo valdovo, kuriuo jas matuojame. Kuo mažesnis mastelis, tuo ilgesnė riba. Taip yra dėl to, kad naudojant didesnį padidinimą atsiranda galimybė atsižvelgti į vis daugiau pakrantės vingių, kurie anksčiau buvo ignoruojami dėl matavimų nelygumo. Ir jei su kiekvienu mastelio padidėjimu atsivers anksčiau neapskaityti linijų vingiai, tada paaiškėja, kad ribų ilgis yra begalinis! Tiesa, realybėje taip nebūna – mūsų matavimų tikslumas turi baigtinę ribą. Šis paradoksas vadinamas Ričardsono efektu.

Konstruktyvūs (geometriniai) fraktalai

Konstruktyvaus fraktalo konstravimo algoritmas bendruoju atveju yra toks. Pirmiausia reikia dviejų tinkamų geometrinių figūrų, pavadinkime jas pagrindu ir fragmentu. Pirmajame etape vaizduojamas būsimo fraktalo pagrindas. Tada kai kurios jo dalys pakeičiamos fragmentu, paimtu tinkamu masteliu - tai pirmoji konstrukcijos iteracija. Tada gauta figūra vėl pakeičia kai kurias dalis į figūras, panašias į fragmentą ir tt Jei šį procesą tęsiame neribotą laiką, tada riboje gauname fraktalą.

Panagrinėkime šį procesą naudodami Kocho kreivę kaip pavyzdį. Kaip Kocho kreivės pagrindą galite paimti bet kurią kreivę ("Koch snaigės" atveju tai yra trikampis). Tačiau apsiribosime paprasčiausiu atveju – segmentu. Fragmentas yra laužyta linija, parodyta paveikslo viršuje. Po pirmosios algoritmo iteracijos šiuo atveju pradinis segmentas sutaps su fragmentu, tada kiekvienas jį sudarantis segmentas bus pakeistas laužta linija, panašia į fragmentą ir tt Paveiksle parodyti pirmieji keturi žingsniai šis procesas.

Matematikos kalba: dinaminiai (algebriniai) fraktalai

Šio tipo fraktalai atsiranda tiriant netiesines dinamines sistemas (iš čia ir kilęs pavadinimas). Tokios sistemos elgesį galima apibūdinti sudėtinga netiesine funkcija (polinomu) f (z). Paimkite pradinį tašką z0 kompleksinėje plokštumoje (žr. šoninę juostą). Dabar apsvarstykite tokią begalinę skaičių seką kompleksinėje plokštumoje, kurių kiekviena gaunama iš ankstesnės: z0, z1 = f (z0), z2 = f (z1),… zn + 1 = f (zn)).

Priklausomai nuo pradinio taško z0, tokia seka gali elgtis skirtingai: linkusi į begalybę kaip n -> ∞; suartėti į kokį nors galinį tašką; cikliškai paimkite keletą fiksuotų verčių; galimi ir sudėtingesni variantai.

Sudėtingi skaičiai

Kompleksinis skaičius yra skaičius, susidedantis iš dviejų dalių – tikrosios ir įsivaizduojamos, tai yra formalioji suma x + iy (čia x ir y yra realieji skaičiai). aš esu vadinamasis. įsivaizduojamas vienetas, tai yra skaičius, tenkinantis lygtį i ^ 2 = -1. Su kompleksiniais skaičiais apibrėžiamos pagrindinės matematinės operacijos – sudėtis, daugyba, dalyba, atėmimas (tik palyginimo operacija neapibrėžta). Kompleksiniams skaičiams rodyti dažnai naudojamas geometrinis vaizdas - plokštumoje (ji vadinama kompleksine), tikroji dalis dedama ant abscisės, o įsivaizduojama dalis ant ordinatės, o kompleksinis skaičius atitiks tašką su Dekarto. koordinates x ir y.

Taigi bet kuris kompleksinės plokštumos taškas z turi savo elgsenos pobūdį funkcijos f (z) iteracijų metu, o visa plokštuma yra padalinta į dalis. Šiuo atveju taškai, esantys ant šių dalių ribų, turi tokią savybę: esant savavališkai mažam poslinkiui, jų elgesio pobūdis smarkiai pasikeičia (tokie taškai vadinami bifurkacijos taškais). Taigi paaiškėja, kad taškų rinkiniai su vienu konkrečiu elgesiu, taip pat bifurkacijos taškų rinkiniai dažnai turi fraktalinių savybių. Tai yra funkcijos f (z) Julijos rinkiniai.

Drakonų šeima

Keičiant pagrindą ir fragmentą, galite gauti nuostabią konstruktyvių fraktalų įvairovę.

Be to, panašias operacijas galima atlikti ir trimatėje erdvėje. Tūrinių fraktalų pavyzdžiai yra Mengerio kempinė, Sierpinskio piramidė ir kt.

Drakonų šeima taip pat vadinama konstruktyviais fraktalais. Kartais jie vadinami atradėjų vardu „Harterio greitkelio drakonai“(savo forma jie primena Kinijos drakonus). Yra keletas būdų, kaip nubrėžti šią kreivę. Paprasčiausias ir intuityviausias iš jų yra toks: reikia paimti pakankamai ilgą popieriaus juostelę (kuo plonesnis popierius, tuo geriau) ir perlenkti per pusę. Tada vėl du kartus sulenkite ta pačia kryptimi, kaip ir pirmą kartą.

Po kelių pakartojimų (dažniausiai po penkių ar šešių užlenkimų juostelė pasidaro per stora, kad ją būtų galima tvarkingai lenkti toliau), reikia atlenkti juostelę atgal ir pabandyti formuoti 90˚ kampus ties klostėmis. Tada drakono kreivė pasirodys profiliu. Žinoma, tai bus tik apytikslis rodiklis, kaip ir visi mūsų bandymai pavaizduoti fraktalinius objektus. Kompiuteris leidžia pavaizduoti daug daugiau šio proceso žingsnių, o rezultatas – labai graži figūra.

Mandelbrot rinkinys sukonstruotas kiek kitaip. Apsvarstykite funkciją fc (z) = z ^ 2 + c, kur c yra kompleksinis skaičius. Sukurkime šios funkcijos seką, kai z0 = 0, priklausomai nuo parametro c, ji gali išsiskirti iki begalybės arba likti apribota. Be to, visos c reikšmės, kurioms ši seka yra ribojama, sudaro Mandelbroto rinkinį. Ją išsamiai ištyrė pats Mandelbrotas ir kiti matematikai, atradę daug įdomių šio rinkinio savybių.

Matyti, kad Julijos ir Mandelbroto aibių apibrėžimai yra panašūs vienas į kitą. Tiesą sakant, šie du rinkiniai yra glaudžiai susiję. Būtent Mandelbroto aibė yra visos kompleksinio parametro c reikšmės, prie kurių yra prijungtas Julijos rinkinys fc (z) (aibė vadinama sujungta, jei jos negalima padalyti į dvi atskiras dalis, su tam tikromis papildomomis sąlygomis).

Fraktalai ir gyvenimas

Šiandien fraktalų teorija plačiai naudojama įvairiose žmogaus veiklos srityse. Be grynai mokslinio tyrimams skirto objekto ir jau minėtos fraktalinės tapybos, fraktalai informacijos teorijoje naudojami grafiniams duomenims suspausti (čia daugiausiai pasitelkiama fraktalų savipanašumo savybė – juk tam, kad prisimintume nedidelį fragmentą brėžinys ir transformacijos, su kuriomis galite gauti likusias dalis, reikia daug mažiau atminties nei visam failui saugoti).

Į fraktalą apibrėžiančias formules įtraukus atsitiktinius trikdžius, galima gauti stochastinius fraktalus, kurie labai tikėtinai perteikia kai kuriuos tikrus objektus – reljefo elementus, vandens telkinių paviršių, kai kuriuos augalus, kurie sėkmingai naudojami fizikoje, geografijoje ir kompiuterinėje grafikoje, siekiant didesnio. imituojamų objektų panašumas į realų. Elektronikoje gaminamos antenos, kurios turi fraktalinę formą. Užimdami mažai vietos, jie užtikrina gana kokybišką signalo priėmimą.

Ekonomistai naudoja fraktalus, kad apibūdintų valiutos kurso kreives (mandelbroto atrastą savybę). Tai užbaigia šią nedidelę ekskursiją į nuostabiai gražų ir įvairų fraktalų pasaulį.