Plokščia, sferinė ar hiperbolinė mūsų Visatos forma?

2024 Autorius: Seth Attwood | [email protected]. Paskutinį kartą keistas: 2023-12-16 16:11

Mūsų nuomone, visata yra begalinė. Šiandien žinome, kad Žemė turi sferos formą, tačiau retai susimąstome apie Visatos formą. Geometrijoje yra daug trimačių formų kaip alternatyva „pažįstamai“begalinei erdvei. Autoriai paaiškina skirtumą labiausiai prieinama forma.

Žvelgiant į naktinį dangų atrodo, kad kosmosas tęsiasi amžinai į visas puses. Taip mes įsivaizduojame Visatą – bet ne faktą, kad tai tiesa. Juk buvo laikas, kai visi manė, kad Žemė plokščia: žemės paviršiaus kreivumas yra nepastebimas, o mintis, kad Žemė yra apvali, atrodė nesuprantama.

Šiandien mes žinome, kad Žemė yra rutulio formos. Tačiau mes retai susimąstome apie visatos formą. Sferai pakeitus plokščią žemę, kitos trimatės formos siūlo alternatyvas „pažįstamai“begalinei erdvei.

Apie visatos formą galima užduoti du klausimus – atskirus, bet tarpusavyje susijusius. Viena yra apie geometriją – kruopštus kampų ir plotų skaičiavimus. Kitas yra apie topologiją: kaip atskiros dalys susilieja į vieną formą.

Kosmologiniai duomenys rodo, kad matoma Visatos dalis yra lygi ir vienalytė. Vietinė erdvės struktūra atrodo beveik vienoda kiekviename taške ir visomis kryptimis. Šias charakteristikas atitinka tik trys geometrinės formos – plokščia, sferinė ir hiperbolinė. Pažvelkime į šias formas paeiliui, kai kuriuos topologinius svarstymus ir išvadas, pagrįstas kosmologiniais duomenimis.

Plokščia visata

Tiesą sakant, tai yra mokyklos geometrija. Trikampio kampai sudaro 180 laipsnių, o apskritimo plotas yra πr2. Paprasčiausias plokščios trimatės formos pavyzdys yra įprasta begalinė erdvė, matematikai ją vadina Euklido, tačiau yra ir kitų plokščių variantų.

Įsivaizduoti šias formas nelengva, tačiau savo intuiciją galime susieti mąstydami dviem, o ne trimis matmenimis. Be įprastos euklido plokštumos, išpjaudami plokštumos gabalėlį ir suklijuodami jo kraštus, galime sukurti ir kitas plokščias formas. Tarkime, iškirpome stačiakampį popieriaus lapą ir priešingus jo kraštus suklijuojame juostele. Jei priklijuojate viršutinį kraštą prie apatinio krašto, gausite cilindrą.

Taip pat galite klijuoti dešinį kraštą į kairę – tada gauname spurgą (matematikai šią formą vadina toru).

Tikriausiai paprieštarausite: „Kažkas nelabai plokščia“. Ir tu būsi teisus. Mes šiek tiek sukčiavome dėl plokščio toro. Jei tikrai tokiu būdu bandysite padaryti torą iš popieriaus lapo, susidursite su tam tikrais sunkumais. Cilindrą pasidaryti nesunku, bet jo galų suklijuoti nepavyks: popierius susiglamžys palei vidinį toro apskritimą, bet išoriniam jo neužteks. Taigi jūs turite paimti tam tikrą elastingą medžiagą. Tačiau tempimas keičia ilgį ir kampus, taigi ir visą geometriją.

Neįmanoma sukonstruoti tikro lygaus fizinio toro iš plokščios medžiagos įprastoje trimatėje erdvėje neiškraipant geometrijos. Belieka abstrakčiai spėlioti, ką reiškia gyventi plokščiame tore.

Įsivaizduokite, kad esate dvimatė būtybė, kurios visata yra plokščias toras. Kadangi šios visatos forma paremta plokščiu popieriaus lapu, visi geometriniai faktai, prie kurių esame įpratę, išlieka tokie patys – bent jau ribotu mastu: trikampio kampai sumuojasi iki 180 laipsnių ir t.t. Tačiau pasikeitus pasaulinei topologijai apkarpant ir klijuojant, gyvenimas labai pasikeis.

Pirmiausia, toras turi tiesias linijas, kurios sukasi ir grįžta į pradinį tašką.

Ant iškreipto toro jie atrodo išlenkti, bet plokščio toro gyventojams jie atrodo tiesūs. O kadangi šviesa sklinda tiesia linija, tai jei žiūrėsite tiesiai į bet kurią pusę, pamatysite save iš nugaros.

Atrodo, tarsi ant originalaus popieriaus lapo šviesa prasiskverbė pro jus, nuėjo į kairįjį kraštą, o tada vėl pasirodė dešinėje, kaip vaizdo žaidime.

Dar vienas būdas pagalvoti apie tai: jūs (arba šviesos spindulys) peržengiate vieną iš keturių kraštų ir atsiduriate naujame kambaryje, bet iš tikrųjų tai yra ta pati patalpa, tik kitu požiūriu. Klajodami po tokią visatą susidursite su begale originalaus kambario kopijų.

Tai reiškia, kad kur bežiūrėsite, pasiimsite begalę savo kopijų. Tai savotiškas veidrodžio efektas, tik šios kopijos nėra būtent atspindžiai.

Ant toro kiekvienas iš jų atitinka vieną ar kitą kilpą, kuria šviesa grįžta atgal į jus.

Lygiai taip pat gauname plokščią trimatį torą, suklijuodami priešingus kubo ar kitos dėžutės paviršius. Šios erdvės negalėsime pavaizduoti įprastoje begalinėje erdvėje – ji tiesiog netilps – bet galėsime abstrakčiai spėlioti apie gyvenimą joje.

Jei gyvenimas dvimačiame tore yra kaip nesibaigiantis dvimatis identiškų stačiakampių kambarių masyvas, tai gyvenimas trimačiame tore yra kaip nesibaigiantis trimatis identiškų kubinių kambarių masyvas. Jūs taip pat pamatysite begalinį skaičių savo kopijų.

Trimatis toras yra tik vienas iš dešimties baigtinio plokščiojo pasaulio variantų. Taip pat yra begalinių plokščių pasaulių – pavyzdžiui, trimatis begalinio cilindro analogas. Kiekvienas iš šių pasaulių turės savo „juoko kambarį“su „atspindžiais“.

Ar mūsų visata gali būti viena iš plokščių formų?

Žvelgdami į erdvę, nematome begalinio savo kopijų skaičiaus. Nepaisant to, plokščių formų pašalinimas nėra lengvas. Pirma, jie visi turi tą pačią vietinę geometriją kaip Euklido erdvė, todėl jų nebus įmanoma atskirti vietiniais matavimais.

Tarkime, jūs netgi matėte savo kopiją, šis tolimas vaizdas tik parodo, kaip jūs (ar visa jūsų galaktika) atrodėte tolimoje praeityje, nes šviesa nuėjo ilgą kelią, kol pasiekė jus. Galbūt net matome savo kopijas – bet neatpažįstamai pasikeitusias. Be to, skirtingos kopijos yra skirtingais atstumais nuo jūsų, todėl jos nėra panašios. O be to, taip toli, kad vis tiek nieko nepamatysime.

Norėdami apeiti šiuos sunkumus, astronomai dažniausiai ieško ne savo kopijų, o pasikartojančių ypatybių tolimiausiame matomame reiškinyje - kosminėje mikrobangų foninėje spinduliuotėje, tai yra Didžiojo sprogimo reliktas. Praktiškai tai reiškia, kad reikia ieškoti apskritimų porų su derančiais karštų ir šaltų dėmių raštais – daroma prielaida, kad jie yra vienodi, tik iš skirtingų pusių.

Plancko kosminio teleskopo dėka astronomai atliko būtent tokią paiešką 2015 m. Jie surinko duomenis apie sutampančių apskritimų tipus, kuriuos tikimės pamatyti plokščiame 3D tore ar kitoje plokščioje 3D formoje – vadinamojoje plokštelėje – tačiau nieko nerado. Tai reiškia, kad jei mes gyvename tore, jis atrodo toks didelis, kad bet kokie pasikartojantys fragmentai yra už stebimos visatos ribų.

Sferinė forma

Mums labai gerai pažįstamos dvimatės sferos – tai rutulio, apelsino ar Žemės paviršius. Bet ką daryti, jei mūsų visata yra trimatė sfera?

Nubraižyti trimatę sferą sunku, tačiau apibūdinti ją paprasta paprasta analogija. Jei dvimatė sfera yra visų taškų, esančių fiksuotu atstumu nuo kokio nors centrinio taško įprastoje trimatėje erdvėje, rinkinys, trimatė sfera (arba „trisfera“) yra visų taškų, esančių fiksuotu atstumu nuo tam tikros erdvės, rinkinys. centrinis taškas keturmatėje erdvėje.

Gyvenimas trisferoje labai skiriasi nuo gyvenimo plokščioje erdvėje. Norėdami tai įsivaizduoti, įsivaizduokite, kad esate dvimatė būtybė dvimatėje sferoje. Dvimatė sfera yra visa Visata, todėl jūs nematote jus supančios trimatės erdvės ir negalite į ją patekti. Šioje sferinėje visatoje šviesa keliauja trumpiausiu keliu: dideliais apskritimais. Tačiau šie ratai jums atrodo tiesūs.

Dabar įsivaizduokite, kad jūs ir jūsų 2D bičiulis leidžiatės Šiaurės ašigalyje ir jis išėjo pasivaikščioti. Tolstant, iš pradžių jis palaipsniui mažės jūsų regėjimo rate – kaip ir įprastame pasaulyje, nors ir ne taip greitai, kaip esame įpratę. Taip yra todėl, kad augant jūsų regėjimo ratui, jūsų draugas jo užima vis mažiau.

Tačiau kai tik jūsų draugas peržengia pusiaują, nutinka kažkas keisto: jis pradeda didėti, nors iš tikrųjų ir toliau tolsta. Taip yra todėl, kad jų dalis jūsų regėjimo rate didėja.

Trys metrai nuo Pietų ašigalio jūsų draugas atrodys taip, lyg stovėtų už trijų metrų nuo jūsų.

Pasiekęs Pietų ašigalį, jis visiškai užpildys visą jūsų matomą horizontą.

O kai Pietų ašigalyje nebus nė vieno, jūsų vizualinis horizontas bus dar keistesnis – tai jūs. Taip yra todėl, kad jūsų skleidžiama šviesa pasklis po visą sferą, kol sugrįš.

Tai tiesiogiai veikia gyvenimą 3D sferoje. Kiekvienas trissferos taškas turi priešingybę, o jei ten yra objektas, jį matysime visame danguje. Jei ten nieko nėra, pamatysime save antrame plane – tarsi mūsų išvaizda būtų uždėta ant baliono, tada apversta iš vidaus ir išpūsta iki viso horizonto.

Tačiau nors trisfera yra pagrindinis sferinės geometrijos modelis, ji toli gražu nėra vienintelė įmanoma erdvė. Kaip kūrėme skirtingus plokščius modelius pjaustydami ir klijuodami Euklido erdvės gabalus, taip galime statyti sferinius, klijuodami tinkamas trisferos dalis. Kiekviena iš šių klijuotų formų, kaip ir toras, turės „juoko kambario“efektą, tik sferinių formų kambarių skaičius bus baigtinis.

Ką daryti, jei mūsų visata yra sferinė?

Net patys narciziškiausi iš mūsų nemato savęs kaip fono, o ne naktinio dangaus. Tačiau, kaip ir plokščiojo toro atveju, tai, kad kažko nematome, visai nereiškia, kad to nėra. Sferinės visatos ribos gali būti didesnės nei matomo pasaulio ribos, o fono tiesiog nesimato.

Tačiau skirtingai nei toras, sferinė visata gali būti aptikta naudojant vietinius matavimus. Sferinės formos nuo begalinės Euklido erdvės skiriasi ne tik globalia topologija, bet ir maža geometrija. Pavyzdžiui, kadangi tiesės sferinėje geometrijoje yra dideli apskritimai, trikampiai ten yra „putlesni“nei euklidiniai, o jų kampų suma viršija 180 laipsnių.

Iš esmės kosminių trikampių matavimas yra pagrindinis būdas patikrinti, kiek išlenkta visata. Kiekvienai karštai ar šaltai vietai kosminėje mikrobangų fone yra žinomas jos skersmuo ir atstumas nuo Žemės, sudarantis tris trikampio kraštines. Galime išmatuoti kampą, kurį sudaro taškas nakties danguje – ir tai bus vienas iš trikampio kampų. Tada galime patikrinti, ar kraštinių ilgių ir kampų sumos derinys atitinka plokštuminę, sferinę ar hiperbolinę geometriją (kai trikampio kampų suma mažesnė nei 180 laipsnių).

Dauguma šių skaičiavimų kartu su kitais kreivumo matavimais daro prielaidą, kad visata yra arba visiškai plokščia, arba labai arti jos. Viena tyrėjų grupė neseniai pasiūlė, kad kai kurie 2018 m. Plancko kosminio teleskopo duomenys labiau pasisako už sferinę visatą, nors kiti tyrinėtojai teigė, kad pateikti įrodymai gali būti siejami su statistine klaida.

Hiperbolinė geometrija

Skirtingai nuo sferos, kuri užsidaro pati, hiperbolinė geometrija arba erdvė su neigiamu kreivumu atsiveria į išorę. Tokia yra plačiabrylės skrybėlės, koralinio rifo ir balno geometrija. Pagrindinis hiperbolinės geometrijos modelis yra begalinė erdvė, kaip ir plokščiasis Euklido. Tačiau kadangi hiperbolinė forma plečiasi į išorę daug greičiau nei plokščia, nėra jokio būdo net dvimatės hiperbolinės plokštumos sutalpinti įprastoje euklido erdvėje, jei nenorime iškreipti jos geometrijos. Tačiau yra iškraipytas hiperbolinės plokštumos, žinomos kaip Puankarės diskas, vaizdas.

Mūsų požiūriu, šalia ribinio apskritimo esantys trikampiai atrodo daug mažesni nei esantys netoli centro, tačiau hiperbolinės geometrijos požiūriu visi trikampiai yra vienodi. Jei pabandytume pavaizduoti šiuos trikampius tikrai tokio paties dydžio – galbūt naudodami tamprią medžiagą ir kiekvieną trikampį išpučiant paeiliui, judant nuo centro į išorę – mūsų diskas primintų plačiabrylę skrybėlę ir vis labiau linktųsi. Ir kai priartėsite prie sienos, šis kreivumas taptų nevaldomas.

Įprastoje Euklido geometrijoje apskritimo perimetras yra tiesiogiai proporcingas jo spinduliui, tačiau hiperbolinėje geometrijoje apskritimas didėja eksponentiškai spindulio atžvilgiu. Netoli hiperbolinio disko ribos susidaro trikampių krūva

Dėl šios savybės matematikai mėgsta sakyti, kad hiperbolinėje erdvėje lengva pasiklysti. Jei jūsų draugas tolsta nuo jūsų įprastoje euklido erdvėje, jis pradės tolti, bet gana lėtai, nes jūsų regėjimo ratas neauga taip greitai. Hiperbolinėje erdvėje jūsų regėjimo ratas eksponentiškai plečiasi, todėl jūsų draugas netrukus susitrauks iki be galo mažos dėmės. Taigi, jei nesilaikėte jo maršruto, vargu ar vėliau jį rasite.

Net hiperbolinėje geometrijoje trikampio kampų suma yra mažesnė nei 180 laipsnių – pavyzdžiui, kai kurių trikampių kampų suma iš Puankarės disko mozaikos yra tik 165 laipsniai.

Atrodo, kad jų pusės yra netiesioginės, bet taip yra todėl, kad mes žiūrime į hiperbolinę geometriją per iškreipiantį objektyvą. Poincaré disko gyventojui šios kreivės iš tikrųjų yra tiesios linijos, todėl greičiausias būdas patekti iš taško A į tašką B (abu yra krašte) yra pjūvis į centrą.

Yra natūralus būdas padaryti trimatį Puankarės disko analogą – paimkite trimatį rutulį ir užpildykite jį trimatėmis formomis, kurios palaipsniui mažėja artėjant prie ribinės sferos, kaip trikampiai Puankarės diske. Ir, kaip ir plokštumų bei sferų atveju, galime sukurti daugybę kitų trimačių hiperbolinių erdvių, iškirpę tinkamas trimačio hiperbolinio rutulio dalis ir suklijuodami jo paviršius.

Na, ar mūsų Visata yra hiperboliška?

Hiperbolinė geometrija su siaurais trikampiais ir eksponentiškai augančiais apskritimais visai nepanaši į mus supančią erdvę. Iš tiesų, kaip jau pastebėjome, dauguma kosmologinių matavimų yra linkę į plokščią visatą.

Tačiau negalime atmesti, kad gyvename sferiniame ar hiperboliniame pasaulyje, nes maži abiejų pasaulių fragmentai atrodo beveik plokšti. Pavyzdžiui, mažų trikampių kampų suma sferinėje geometrijoje yra tik šiek tiek didesnė nei 180 laipsnių, o hiperbolinėje geometrijoje – tik šiek tiek mažesnė.

Todėl senoliai manė, kad Žemė plokščia – Žemės kreivumo plika akimi nematyti. Kuo didesnė sferinė ar hiperbolinė forma, tuo plokštesnė kiekviena jos dalis, todėl, jei mūsų Visata yra itin didelės sferinės ar hiperbolinės formos, jos matoma dalis yra taip arti plokščios, kad jos kreivumą galima aptikti tik itin tiksliais instrumentais. ir mes jų dar neišradome….