Henry Segerman: Materialinė harmonija matematikoje

2024 Autorius: Seth Attwood | [email protected]. Paskutinį kartą keistas: 2023-12-16 16:11

Pasak legendos, Pitagoras pirmasis atrado, kad dvi vienodai ištemptos stygos skleidžia malonų garsą, jei jų ilgiai yra susiję kaip maži sveikieji skaičiai. Nuo tada žmones žavi paslaptingas grožio ir matematikos ryšys, visiškai materiali formų, virpesių, simetrijos harmonija – ir tobula skaičių bei santykių abstrakcija.

Šis ryšys trumpalaikis, bet apčiuopiamas, ne veltui menininkai daugelį metų taiko geometrijos dėsnius ir yra įkvėpti matematinių dėsnių. Henriui Segermanui buvo sunku atsisakyti šio idėjų šaltinio: juk jis matematikas pagal pašaukimą ir profesiją.

Kleino butelis „Protiškai suklijuodami dviejų Mobius juostelių kraštus, – sako Henry Segermanas, – galite gauti Klein buteliuką, kuris taip pat turi vieną paviršių. Čia matome Klein butelį, pagamintą iš Mobius juostelių su apvaliu kraštu.

Atvirkščiai, kaip tai gali atrodyti trimatėje erdvėje. Kadangi originalios „apvalios“Mobius juostelės eina į begalybę, tai toks Kleino butelis tęsis iki begalybės du kartus ir kertasi, ką galima pamatyti skulptūroje. Padidinta šios skulptūros kopija puošia Melburno universiteto Matematikos ir statistikos katedrą.

Fraktalai

„Gimiau mokslininkų šeimoje ir manau, kad mano susidomėjimas viskuo, kas reikalauja pažangaus erdvinio mąstymo, yra su tuo susijęs“, – sako Henry. Šiandien jis jau yra baigęs Oksfordo magistrantūros ir doktorantūros studijas Stanfordo universitetuose ir eina docento pareigas Oklahomos universitete.

Tačiau sėkminga mokslinė karjera – tik viena jo daugialypės asmenybės pusė: daugiau nei prieš 12 metų matematikas pradėjo organizuoti meno renginius… virtualiame Second Life pasaulyje.

Šis trimatis treniruoklis su socialinio tinklo elementais tuomet buvo labai populiarus, leidžiantis vartotojams ne tik bendrauti tarpusavyje, bet ir įrengti savo virtualius „avatarus“bei zonas pramogoms, darbui ir pan.

Vardas: Henry Segerman

Gimė 1979 m

Išsilavinimas: Stanfordo universitetas

Miestas: Stillwater, JAV

Šūkis: „Paimk tik vieną idėją, bet parodyk ją kuo aiškiau“.

Segermanas čia atvyko, apsiginklavęs formulėmis ir skaičiais, matematiškai sutvarkė savo virtualų pasaulį, užpildydamas jį precedento neturinčiomis fraktalų figūrėlėmis, spiralėmis ir net tesseraktais, keturmačiais hiperkubais. „Rezultatas yra keturmačio hiperkubo projekcija trimatėje Second Life visatoje, kuri pati yra trimačio virtualaus pasaulio projekcija dvimačiame plokščiame ekrane“, – pažymi menininkas.

Hilberto kreivė: ištisinė linija užpildo kubo erdvę, niekada nepertraukdama ar nesusikertanti su savimi.

Hilberto kreivės yra fraktalinės struktūros, o jei priartinsite, pamatysite, kad šios kreivės dalys atitinka visumos formą. „Tūkstančius kartų mačiau juos iliustracijose ir kompiuteriniuose modeliuose, bet pirmą kartą paėmęs į rankas tokią 3D skulptūrą iškart pastebėjau, kad ji taip pat elastinga“, – sako Segermanas. "Fizikinis matematinių sąvokų įsikūnijimas visada kažkuo stebina."

Tačiau dirbti su medžiaginėmis skulptūromis jam patiko kur kas labiau. „Aplink mus nuolat cirkuliuoja didžiulis kiekis informacijos“, – sako Segermanas. – Laimei, realus pasaulis turi labai didelį pralaidumą, kurio dar nėra internete.

Suteikite žmogui baigtą daiktą, vientisą formą - ir jis iš karto suvoks jį visu sudėtingumu, nelaukdamas pakrovimo. Taigi nuo 2009 metų Segermanas sukūrė kiek daugiau nei šimtą skulptūrų, ir kiekviena iš jų yra vizualus ir, kiek įmanoma, tikslus fizinis abstrakčių matematinių sąvokų ir dėsnių įkūnijimas.

Daugiakampis

Segermano meninių eksperimentų su 3D spausdinimu raida keistai atkartoja matematinių idėjų raidą. Tarp pirmųjų jo eksperimentų buvo klasikiniai platoniški kūnai – penkių simetriškų figūrų rinkinys, sulankstytas taisyklingais trikampiais, penkiakampiais ir kvadratais. Po jų sekė pusiau taisyklingi daugiakampiai – 13 Archimedo kietųjų kūnų, kurių veidus sudaro nelygūs taisyklingi daugiakampiai.

Stanford Rabbit 3D modelis sukurtas 1994 m. Sudarytas iš beveik 70 000 trikampių, jis yra paprastas ir populiarus programinės įrangos algoritmų veikimo testas. Pavyzdžiui, ant triušio galite išbandyti duomenų glaudinimo ar paviršiaus išlyginimo efektyvumą kompiuterinei grafikai.

Todėl specialistams ši forma yra tokia pati, kaip mėgstantiems žaisti su kompiuteriniais šriftais frazė „Suvalgyk dar šių minkštų prancūziškų suktinukų“. Stanfordo zuikio skulptūra – toks pat modelis, kurio paviršius išklotas žodžio zuikis raidėmis.

Jau šios paprastos formos, iš dvimačių iliustracijų ir idealaus vaizduotės pasaulio perėjusios į trimatę realybę, kelia vidinį susižavėjimą savo lakonišku ir tobulu grožiu. „Santykis tarp matematinio grožio ir vaizdo ar garso meno kūrinių grožio man atrodo labai trapus.

Juk daugelis žmonių puikiai suvokia vieną šio grožio formą, visiškai nesupranta kitos. Matematines idėjas galima paversti matomomis arba vokalinėmis formomis, bet ne visos ir ne taip lengvai, kaip gali atrodyti “, - priduria Segermanas.

Netrukus klasikines figūras sekė vis sudėtingesnės formos, iki tų, apie kurias Archimedas ar Pitagoras vargu ar galėjo pagalvoti – taisyklingos daugiakampės, kurios be tarpo užpildo Lobačevskio hiperbolinę erdvę.

Tokios figūros neįtikėtinais pavadinimais, kaip „6 eilės tetraedrinis koris“arba „šešiakampis mozaikos koris“, neįsivaizduojamos be vaizdinio paveikslo. Arba – viena iš Segermano skulptūrų, vaizduojančių jas mums įprastoje trimatėje euklido erdvėje.

Platoninės kietosios medžiagos: tetraedras, oktaedras ir ikosaedras, sulankstyti taisyklingais trikampiais, taip pat kubas ir ikosaedras, susidedantys iš kvadratų, pagrįstų penkiakampiais.

Pats Platonas juos siejo su keturiais elementais: „lygiomis“oktaedrinėmis dalelėmis, jo nuomone, susiklosčiusiu oru, „skysčiais“ikosaedrais – vandeniu, „tankiais“kubeliais – žeme ir aštriais bei „dygliuotais“tretraedrais – ugnimi. Penktąjį elementą – dodekaedrą – filosofas laikė idėjų pasaulio dalele.

Menininko darbas prasideda nuo 3D modelio, kurį jis sukuria profesionaliame Raganosių pakete. Apskritai viskas baigiasi taip: pati skulptūrų gamyba, modelio spausdinimas 3D spausdintuvu, Henris tiesiog užsisako per „Shapeways“, didelę internetinę 3D spausdinimo entuziastų bendruomenę, ir gauna gatavą objektą, pagamintą iš plastiko arba plieno-bronzos pagrindo metalo matricos kompozitų. „Tai labai lengva“, – sako jis. „Jūs tiesiog įkeliate modelį į svetainę, spustelėkite mygtuką Įdėti į krepšelį, pateikiate užsakymą ir po kelių savaičių jis bus pristatytas jums paštu.

Aštuonios figūros papildymas Įsivaizduokite, kad surišate mazgą kietos medžiagos viduje ir tada jį pašalinate; likusi ertmė vadinama mazgo komplementu. Šiame modelyje pavaizduotas vienas paprasčiausių mazgų – aštuntukas.

grožis

Galiausiai Segermano matematinių skulptūrų evoliucija nukelia mus į sudėtingą ir užburiančią topologijos sritį. Ši matematikos šaka tiria plokščių paviršių ir skirtingų matmenų erdvių savybes ir deformacijas, o platesnės jų charakteristikos jai svarbios nei klasikinei geometrijai.

Čia kubą galima nesunkiai paversti kamuoliuku, kaip plastilinu, o puodelį su rankena galima susukti į spurgą, jose nieko svarbaus nesulaužant – gerai žinomas pavyzdys, įkūnytas elegantiškame Segermano Topologiniame pokšte.

Tesraktas yra keturmatis kubas: kaip kvadratą galima gauti pajudinus jam statmeną atkarpą atstumu, lygiu jo ilgiui, taip kubą galima gauti panašiai nukopijavus kvadratą trimis matmenimis ir perkeliant kubą. ketvirtoje „nupiešime“tesseraktą, arba hiperkubą. Jis turės 16 viršūnių ir 24 paviršius, kurių projekcijos į mūsų trimatę erdvę mažai primena įprastą trimatį kubą.

„Matematikoje estetinis pojūtis yra labai svarbus, matematikai mėgsta„ gražias “teoremas“, – tvirtina menininkas. - Sunku nustatyti, kas tiksliai susideda iš šio grožio, kaip ir kitais atvejais. Bet sakyčiau, kad teoremos grožis slypi jos paprastume, leidžiančiame kažką suprasti, įžvelgti keletą paprastų sąsajų, kurios anksčiau atrodė neįtikėtinai sudėtingos.

Matematinio grožio centre gali būti grynas, efektyvus minimalizmas – ir nustebęs šūksnis „Aha!“. Gilus matematikos grožis gali būti toks pat bauginantis, kaip ledinė Sniego karalienės rūmų amžinybė. Tačiau visa ši šalta harmonija visada atspindi Visatos, kurioje gyvename, vidinį tvarkingumą ir dėsningumą. Matematika yra tik kalba, kuri neabejotinai tinka šiam elegantiškam ir sudėtingam pasauliui.

Paradoksalu, bet joje yra fizinių atitikmenų ir pritaikymų beveik bet kokiam teiginiui matematinių formulių ir santykių kalba. Netgi abstrakčiausios ir „dirbtinės“konstrukcijos anksčiau ar vėliau ras pritaikymą realiame pasaulyje.

Topologinis pokštas: tam tikru požiūriu apskritimo ir spurgos paviršiai yra „vienodi“, tiksliau, jie yra homeomorfiniai, nes gali transformuotis vienas į kitą be lūžių ir klijų, laipsniška deformacija.

Euklidinė geometrija tapo klasikinio stacionaraus pasaulio atspindžiu, diferencialinis skaičiavimas pravertė Niutono fizikoje. Neįtikėtina Riemanno metrika, kaip paaiškėjo, yra būtina norint apibūdinti nestabilią Einšteino visatą, o daugiamatės hiperbolinės erdvės buvo pritaikytos stygų teorijoje.

Šiame keistame abstrakčių skaičiavimų ir skaičių atitikime mūsų tikrovės pamatams, ko gero, slypi grožio paslaptis, kurią būtinai jaučiame už visų šaltų matematikų skaičiavimų.